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f(x+y)=f(x)+f(y)
此方程的解称为加性函数，在有理数定义域上，利用初等代数我们很容易得出有一组函数满足条件，是f(x)=cx，其中c是任意实数。定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的，所以我们需要更多的条件得到f(x)=cx，以下条件可得f(x)是正比例函数：
◎f是连续函数（在1821年已被柯西证明），后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。
◎存在a，b∈r，(a
◎f单调，或f在某开区间单调。
◎存在e1>0，使得x∈[0，e1]，有f(x)≥0，或者存在e2>0，使得x∈[0，e2]，有f(x)≤0
另外，如果没有其他条件的话，（假如承认选择公理成立），那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件，这是1905年哈默(georg hal)利用哈默基的概念证明的。
希尔伯特第五问题是该方程的推广
存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(cauchy-hal funcn)，希尔伯特第三问题中，从3-d向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（dehn-hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。